Question

10．已知函数$f（x）=lnx-\frac{1}{2}a{x^2}-2x$
（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；
（2）若$a=-\frac{1}{2}$，且关于x的方程$f（x）=-\frac{1}{2}x+b$在[1，4]恰有两个不相等的实数根，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．
（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．

解答 解：（1）f'（x）=-$\frac{{ax}^{2}+2x-1}{x}$（x＞0），
依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax²+2x-1≤0在x＞0恒成立．
则a≤$\frac{1-2x}{{x}^{2}}$在x＞0恒成立，
即a≤[（$\frac{1}{x}$-1）²-1]_min，x＞0，
当x=1时，（$\frac{1}{x}$-1）²-1取最小值-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]；
（2）a=-$\frac{1}{2}$，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+b，
∴$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b=0
设g（x）=$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x+lnx-b（x＞0）
则g'（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
列表：

x	（0，1）	1	（1，2）	2	（2，4）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑

∴g（x）极小值=g（2）=ln2-b-2，g（x）极大值=g（1）=-b-$\frac{5}{4}$，
又g（4）=2ln2-b-2
∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．
则 $\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）＜0}\\{g（4）≥0}\end{array}\right.$，得ln2-2＜b≤-$\frac{5}{4}$．

点评 本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．