Question

15．已知函数f（x）=ax+xln x（a∈R）．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[e，+∞）上为增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立，设g（x）=-lnx-1，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．
（1）当a=-2时，f'（x）=lnx-1，令f'（x）=0，得x=e．
当0＜x＜e时，f'（x）＜0；当x＞e时，f'（x）＞0；
所以函数f（x）=-2x+xlnx的单调递减区间是（0，e），单调递增区间是（e，+∞）．
（2）因为f（x）在[e，+∞）上为增函数，
所以f'（x）≥0，即a≥-lnx-1在[e，+∞）上恒成立．
设g（x）=-lnx-1，因为函数g（x）=-lnx-1在[e，+∞）上为减函数，
所以g（x）_max=g（e）=-lne-1=-2，
所以a≥-2．故a的取值范围是[-2，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．