Question

7．已知渡船在静水中速度$\overrightarrow{v_2}$的大小为$（\sqrt{6}+\sqrt{2}）$m/s，河水流速$\overrightarrow{v_1}$的大小为2m/s．如图渡船船头方向与水流方向成$\frac{π}{4}$夹角，且河面垂直宽度为$600（\sqrt{3}+1）m$．
（Ⅰ）求渡船的实际速度与水流速度的夹角；
（Ⅱ）求渡船过河所需要的时间．[提示：4+2$\sqrt{3}={（\sqrt{3}+1）^2}$]．

Answer 1

分析 （Ⅰ）方法一：（向量坐标法）以O为坐标原点，$\overrightarrow{v_1}$所在直线为x轴建立平面直角坐标系，根据向量的坐标运算和向量的模以及夹角公式即可求出，
方法二：（正、余弦定理），根据平行四边形法则和正弦定理和余弦定理即可求出，
（Ⅱ）先求出所走的路程，即可求出所需要的时间

解答 解：（Ⅰ）方法一：（向量坐标法）
以O为坐标原点，$\overrightarrow{v_1}$所在直线为x轴建立平面直角坐标系

由条件$＜\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow{v_2}＞=\frac{π}{4}$，$|\overrightarrow{v_1}|=2$，$|\overrightarrow{v_2}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
知$\overrightarrow{v_1}=（2，0）$，$\overrightarrow{v_2}=（\sqrt{3}+1，\sqrt{3}+1）$，
由$\overrightarrow v=\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=（\sqrt{3}+3，\sqrt{3}+1）$，
即$|\overrightarrow v{|^2}=16+8\sqrt{3}$
所以$|\overrightarrow v|=\sqrt{16+8\sqrt{3}}=2（\sqrt{3}+1）$
所以$cos＜\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow v＞=\frac{{\overrightarrow v•\overrightarrow{v_1}}}{{|\overrightarrow v||\overrightarrow{v_1}|}}=\frac{{2\sqrt{3}+6}}{{2（\sqrt{3}+1）•2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
即所以渡船的实际速度与水流速度的夹角$\frac{π}{6}$；                                
（Ⅱ）由（Ⅰ）知船垂直方向速度为$|\overrightarrow v|•sin\frac{π}{6}=\sqrt{3}+1$
所以渡船过河所需要的时间$\frac{{600（\sqrt{3}+1）}}{{\sqrt{3}+1}}=600$s．…（12分）
方法二：（正、余弦定理）
（Ⅰ）如图所示，$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{v_1}，\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{v_2}$，设渡船的合速度$\overrightarrow v$，则$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow v$

由条件$∠AOB=\frac{π}{4}$，$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
根据向量的平行四边形法则有：$∠OAC=\frac{3π}{4}$，$|\overrightarrow{OA}|=2$，$|\overrightarrow{AC}|=\sqrt{6}+\sqrt{2}$
在△OAC中，由余弦定理得$|\overrightarrow{OC}{|^2}=|\overrightarrow{OA}{|^2}+|\overrightarrow{AC}{|^2}-2|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AC}|cos∠OAC$=$4+8+2\sqrt{12}+4（\sqrt{3}+1）=\sqrt{4{{（\sqrt{3}+1）}^2}}=2（\sqrt{3}+1）$，
在△OAC中，由正弦定理得$\frac{{|\overrightarrow{AC}|}}{sin∠AOC}=\frac{{|\overrightarrow{OC}|}}{sin∠OAC}$，得$sin∠AOC=\frac{{（\sqrt{6}+\sqrt{2}）\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}{{2（\sqrt{3}+1）}}=\frac{1}{2}$
所以渡船的实际速度与水流速度的夹角$\frac{π}{6}$；                                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知船所走过路程为$\frac{{600（\sqrt{3}+1）}}{sin∠AOC}=1200（\sqrt{3}+1）$
所以渡船过河所需要的时间$\frac{{1200（\sqrt{3}+1）}}{{2（\sqrt{3}+1）}}=600$s．

点评 本题考查了向量的坐标运算和向量的夹角公式，以及正弦定理和余弦定理，属于中档题