Question

15．已知函数f（x）=x³-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值；
（Ⅱ）设函数$F（x）=-x[g（x）+\frac{1}{2}x-2]$，若F（x）在区间（m，m+1）（m∈Z）内存在唯一的极值点，求m的值；
（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）上恰有2个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），求出a的值即可；
（Ⅱ）求出函数F（x）的导数，根据函数的单调性求出函数的极值点，求出对应的m的值即可；
（Ⅲ）通过讨论a的范围求出函数f（x）的单调区间，结合函数的单调性以及函数的零点个数确定a的范围即可．

解答 解：（Ⅰ） 易得，f'（x）=3x²-3a，所以f'（1）=3-3a，
依题意，$（3-3a）（-\frac{1}{2}）=-1$，解得$a=\frac{1}{3}$；       …（3分）
（Ⅱ）因为$F（x）=-x[g（x）+\frac{1}{2}x-2]$=$-x[{（1-lnx）+\frac{1}{2}x-2}]$=$xlnx-\frac{1}{2}{x^2}+x$，
则F'（x）=lnx+1-x+1=lnx-x+2．设t（x）=lnx-x+2，
则$t'（x）=\frac{1}{x}-1$=$\frac{1-x}{x}$．
令t'（x）=0，得x=1．
则由t'（x）＞0，得0＜x＜1，F'（x）为增函数；
由t'（x）＜0，得x＞1，F'（x）为减函数；
而$F'（\frac{1}{e^2}）=-2-\frac{1}{e^2}+2$=$-\frac{1}{e^2}＜0$，F'（1）=1＞0．
则F'（x）在（0，1）上有且只有一个零点x₁，
且在（0，x₁）上F'（x）＜0，F（x）为减函数；
在（x₁，1）上F'（x）＞0，F（x）为为增函数．
所以x₁为极值点，此时m=0．
又F'（3）=ln3-1＞0，F'（4）=2ln2-2＜0，
则F'（x）在（3，4）上有且只有一个零点x₂，
且在（3，x₂）上F'（x）＞0，F（x）为增函数；
在（x₂，4）上F'（x）＜0，F（x）为减函数．
所以x₂为极值点，此时m=3．
综上m=0或m=3．…（9分）
（Ⅲ）（1）当x∈（0，e）时，g（x）＞0，依题意，h（x）≥g（x）＞0，不满足条件；
（2）当x=e时，g（e）=0，f（e）=e³-3ae+e，
①若f（e）=e³-3ae+e≤0，即$a≥\frac{{{e^2}+1}}{3}$，则e是h（x）的一个零点；
②若f（e）=e³-3ae+e＞0，即$a＜\frac{{{e^2}+1}}{3}$，则e不是h（x）的零点；
（3）当x∈（e，+∞）时，g（x）＜0，所以此时只需考虑函数f（x）在（e，+∞）上零点的情况．
因为f'（x）=3x²-3a＞3e²-3a，所以
①当a≤e²时，f'（x）＞0，f（x）在（e，+∞）上单调递增．
又f（e）=e³-3ae+e，所以
（i）当$a≤\frac{{{e^2}+1}}{3}$时，f（e）≥0，f（x）在（e，+∞）上无零点；
（ii）当$\frac{{{e^2}+1}}{3}＜a≤{e^2}$时，f（e）＜0，
又f（2e）=8e³-6ae+e≥8e³-6e³+e＞0，
所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；
②当a＞e²时，令f'（x）=0，得$x=±\sqrt{a}$．
由f'（x）＜0，得$e＜x＜\sqrt{a}$；
由f'（x）＞0，得$x＞\sqrt{a}$；
所以f（x）在$（e，\sqrt{a}）$上单调递减，在$（\sqrt{a}，+∞）$上单调递增．
因为f（e）=e³-3ae+e＜e³-3e³+e＜0，f（2a）=8a³-6a²+e＞8a²-6a²+e=2a²+e＞0，
所以此时f（x）在（e，+∞）上恰有一个零点；
综上，$a＞\frac{{{e^2}+1}}{3}$．…（13分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．