Question

8．已知平面直角坐标系内，B、C两点是x轴上的两动点，且|BC|=$\sqrt{2}$，A点是直线y=$\sqrt{2}$上的动点，则|AB|：|AC|的最大值与最小值的和为（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． $\sqrt{6}$
• C． $\sqrt{7}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 利用两点间的距离公式，求出相应距离，即可得出结论．

解答 解：取C（0，0），B（$\sqrt{2}$，0），A（x，$\sqrt{2}$），
∴|AB|²：|AC|²=$\frac{（x-\sqrt{2}）^{2}+2}{{x}^{2}+2}$=1+$\frac{2-2\sqrt{2}x}{{x}^{2}+2}$，
设1-$\sqrt{2}$x=t，则|AB|²：|AC|²=1+$\frac{2t}{\frac{（1-t）^{2}}{2}+2}$=1+$\frac{4t}{{t}^{2}-2t+5}$，
t=0，|AB|：|AC|=1；
t≠0，|AB|²：|AC|²=1+$\frac{4}{t+\frac{5}{t}-2}$∈[$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$]，
∴|AB|：|AC|的最大值与最小值的和为$\frac{\sqrt{5}+1}{2}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=$\sqrt{5}$，
故选：A．

点评 本题考查两点间的距离公式，考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．