Question

已知函数f(x)=

sin2x+cos2x+1

2cosx

．
（1）求f（x）的定义域和值域；
（2）若x∈(-

π

4

，

π

4

)，且f(x)=

3 2

5

，求cos2x的值．
（3）若曲线f（x）在点P（x₀，f（x₀））(-

π

2

＜x0＜

π

2

)处的切线平行直线y=

6

2

x，求x₀的值．

Answer 1

解（1）f(x)=

2sinxcosx+2cos2x-1+1

2cosx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)（2分）
由2cosx≠0，得x≠kπ+

π

2

(k∈Z)，
∴x+

π

4

≠kπ+

3π

4

(k∈Z)（4分）
则f(x)的值域为{y|-

2

≤y≤

2

}（6分）
（2）∵f(x)=

3 2

5

，∴

2

sin(x+

π

4

)=

3 2

5

．
∴sin(x+

π

4

)=

3

5

（7分）
∵-

π

4

＜x＜

π

4

，∴0＜x+

π

4

＜

π

2

∴cos(x+

π

4

)=

4

5

（8分）
∴cos2x=sin(2x+

π

2

)=2sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）=

24

25

（10分）
（3）f^/（x）=cosx-sinx
由题意得f/(x0)=cosx0-sinx0=

2

cos(x0+

π

4

)=

6

2

（12分）
∴cos(x0+

π

4

)=

3

2

又∵-

π

4

＜x0+

π

4

＜

3π

4

∴x0+

π

4

=

π

6

，-

π

6

∴x0=-

π

12

，-

5π

12

（14分）