Question

（2012•泉州模拟）如图，点O为坐标原点，直线l经过抛物线C：y²=4x的焦点F．
（Ⅰ）若点O到直线l的距离为

1

2

，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点A是直线l与抛物线C在第一象限的交点．点B是以点F为圆心，|FA|为半径的圆与x轴负半轴的交点．试判断直线AB与抛物线C的位置关系，并给出证明．

Answer 1

分析：法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=k（x-1），所以

|-k|

1+k2

=

1

2

，由此能求出直线l的方程．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切．设A（x₀，y₀），则

y

2 0

=4x0．因为|BF|=|AF|=x₀+1，所以B（-x₀，0），由此能够证明直线AB与抛物线相切．
法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，设A（x₀，y₀），则|AF|=x0+1，

y

2 0

=4x0．设圆的方程为：(x-1)2+y2=(x0+1)2由此能够证明直线AB与抛物线相切．

解答：解法一：（Ⅰ）抛物线的焦点F（1，0），…（1分）
当直线l的斜率不存在时，即x=1不符合题意．…（2分）
当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为：y=k（x-1），即kx-y-k=0．…（3分）
所以，

|-k|

1+k2

=

1

2

，解得：k=±

3

3

．…（5分）
故直线l的方程为：y=±

3

3

(x-1)，即x±

3

y-1=0．…（6分）
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
（法一）：设A（x₀，y₀），则

y

2 0

=4x0．…（8分）
因为|BF|=|AF|=x₀+1，所以B（-x₀，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为：y=

y0

2x0

(x+x0)，
整理得：x=

2x0y

y0

-x0…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：y0y2-8x0y+4x0y0=0，…（10分）
△=64

x

2 0

-16x0

y

2 0

=64

x

2 0

-64

x

2 0

=0，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
（Ⅱ）直线AB与抛物线相切，证明如下：…（7分）
设A（x₀，y₀），则|AF|=x0+1，

y

2 0

=4x0．…（8分）
设圆的方程为：(x-1)2+y2=(x0+1)2，…（9分）
当y=0时，得x=1±（x₀+1），
因为点B在x轴负半轴，所以B（-x₀，0）．…（9分）
所以直线AB的方程为y=

y0

2x0

(x+x0)，
整理得：x=

2x0y

y0

-x0…（1）
把方程（1）代入y²=4x得：y0y2-8x0y+4x0y0=0，…（10分）
△=64

x

2 0

-16x0

y

2 0

=64

x

2 0

-64

x

2 0

=0，
所以直线AB与抛物线相切．…（12分）

点评：本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．