Question

设a∈R，f（x）为奇函数，f(2x)=

a•4x+a-2

4x+1

．
（1）写出函数f（x）的定义域；
（2）求a，并写出f（x）的表达式；
（3）用函数单调性定义证明：函数f（x）在定义域上是增函数．（可能用到的知识：若x₁＜x₂，则0＜2x1＜2x2，0＜4x1＜4x2）

Answer 1

分析：（1）先用换元法由f（2x）求得f（x），再求f（x）的定义域．
（2）由f（x）为奇函数，得到f（-x）=-f（x）成立，用待定系数法求解．
（3）要求用定义证明，首先任意在定义域上任取两个变量，且界定其大小，再作差变形看符号，若自变量与函数值变化一致，则为增函数；若自变量与函数值变化相反，则为减函数．

解答：解：（1）由题意f(2x)=

a22x+a-2

22x+1

∴f(x)=

a2x+a-2

2x+1

（2分）
故函数f（x）的定义域为R（4分）
（2）∵f（x）为奇函数∴f（-x）=-f（x）对任意的x∈R都成立∴f（0）=0（7分）
即a+a-2=0∴a=1（10分）
所以f(x)=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

（11分）
（3）对任意的x₁，x₂∈R且x₁＜x₂（14分）f(x1)-f(x2)=1-

2

2x1+1

-(1-

2

2x2+1

)
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0（16分）
即f（x₁）＜f（x₂）
函数f（x）在R上单调递增（17分）

点评：本题考查了换元法求函数解板式，求函数的定义域，奇偶性和单调性的应用，是函数性质考查中常见类型，要求熟练准确．