Question

已知函数，g（x）=mx³-6mx²+2（m≠0），f（x）在（1，f（1））处的切线方程为．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）是否总存在实数m，使得对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导函数可得f′（x）=x²+2ax+b
∵f（x）在（1，f（1））处的切线方程为．
∴
∴
∴a=0，b=-4；
（Ⅱ）要对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，则f（x）_max＜g（x）_max
由（Ⅰ）知，，f′（x）=x²-4
令f′（x）=x²-4=0，得x=2
又f（0）=4，f（2）=-，f（3）=1
∴当x∈[0，3]时，f（x）_max=4
g'（x）=3mx²-12mx=3mx（x-4），
令g'（x）=0，得x=0
又g（-1）=2-7m，g（0）=2，g（2）=2-16m
当m＞0时，g（x）_max=g（0）=2＜4，不合题意；
当m＜0时，g（x）_max=g（2）=2-16m，由2-16m＞4，得
故实数m的取值范围
分析：（Ⅰ）求导函数，利用f（x）在（1，f（1））处的切线方程为，建立方程组，从而可求实数a，b的值；
（Ⅱ）要对任意的x₁∈[0，3]，总存在x₂∈[-1，2]，使得f（x₁）＜g（x₂）成立，则f（x）_max＜g（x）_max，求出函数的最大值，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．