Question

（2009•金山区二模）如图，在三棱锥B-ACO中，BO、AO、CO所在直线两两垂直，且AO=CO，∠BAO=60°，E是AC的中点，三棱锥B-ACO的体积为

3

6

．
（1）求三棱锥B-ACO的高；
（2）在线段AB上取一点D，当D在什么位置时，

DC

和

OE

的夹角大小为arccos

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱锥B-ACO的高，然后根据体积建立等式关系，解之即可求出所求；
（2）以O为原点，OA为x轴，OC为y轴，OB为z轴，建立空间直角坐标系，设D（x，0，

3

（1-x）），设

DC

和

OE

的夹角为θ，则coaθ=

DC •  OE

/ DC /×/ OE /

=

1

4

建立等式关系，解之即可求出x的值，从而可判定点D的位置．

解答：解：（1）由题意的BO⊥平面ACO，即BO就是三棱锥B-ACO的高，…（2分）
在Rt△ABO中，设AO=a，∠BAO=60°，所以BO=

3

a，
CO=a，所以V_B-ACO=

1

3

×

1

2

×AO×BO×CO=

3

6

a³=

3

6

．
所以a=1，所以三棱锥的高BO为

3

．…（4分）
（2）以O为原点，如图建立空间直角坐标系…（5分）
设D（x，0，

3

（1-x）），则C（0，1，0），E（

1

2

，

1

2

，0 ）

DC

=（-x，1，

3

（ x-1）），

OE

=（

1

2

，

1

2

，0）…（10分）
设

DC

和

OE

的夹角为θ
则coaθ=

DC •  OE

/ DC /×/ OE /

=

1 2 (1-x)

x2+1+3(x-1)2 2 2

=

1

4

…（12分）
解之得，x=2（舍去）或x=

1

2

，
所以当D在AB的中点时，

DC

和

OE

的夹角大小为arccos

1

4

．…（14分）

点评：本题主要考查了锥体的体积，以及利用空间向量解决空间两异面直线所成角，同时考查了空间想象能力，推理论证的能力，属于中档题．