Question

11．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx，x∈[$\frac{π}{2}$，π]．
（1）求f（x）的零点；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式，根据题意可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，即：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，由2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z或2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，即可得解．
（2）利用正弦函数的图象和最值即可得解．

解答 解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin²x+sinxcosx=$\frac{\sqrt{3}（1-cos2x）}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴由f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=0，解得：sin（2x-$\frac{π}{3}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{4π}{3}$，k∈Z或2x-$\frac{π}{3}$=2kπ-$\frac{π}{3}$，k∈Z，
∴x=k$π+\frac{5π}{6}$，或x=kπ，k∈Z．
（2）f（x）_max=sin（2x-$\frac{π}{3}$）_max$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=1$+\frac{\sqrt{3}}{2}$，f（x）_min=sin（2x-$\frac{π}{3}$）_min$+\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}-1$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，利用三角函数中的恒等变换化简函数解析式是解题的关键，属于基础题．