Question

设椭圆＝1的两个焦点为F₁、F₂，长轴端点为A₁、A₂．

(1)P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂＝60°．求△F₁PF₂的面积；

(2)若椭圆上存在一点Q，使得∠A₁QA₂＝120°，求椭圆离心率e的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，在△F1PF2中，|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝60°． 　　由余弦定理得4c2＝r12＋r22－2r1r2cos60°， 　　即4c2＝(r1＋r2)2－3r1r2． 　　∵r1＋r2＝2a，∴r1r2＝． 　　∴△F1PF2的面积为 　　． 　　(2)设Q(x0，y0)，A1(－a，0)，A2(a，0)， 　　∴2a·|y0|＝|QA1|·|QA2|·sin120°． 　　∴|QA1|·|QA2|＝． 　　由余弦定理得|QA1|2＋|QA2|2－|A1A2|2＝2|QA1|·|QA2|cos120°． 　　即(x0＋a)2＋y02＋(x0－a)2＋y02－4a2＝． 　　∴a2－x02＝y02＋　① 　　∵，∴a2－x02＝代入①式得 　　． 　　∵y0≠0， 　　∴|y0|＝． 　　∵|y0|≤b， 　　∴≤b， 　　即≤0． 　　∴． 　　∴e2＝，且e2＜1． 　　∴≤e＜1．

提示：

本题主要考查椭圆的几何性质及三角形的有关知识．利用特征△F1PF2中余弦定理及椭圆定义解第(1)问，利用三角形的等积转化及椭圆的范围构造不等式后转化为关于e的不等式求解(2)．