Question

10．如图，F₁，F₂是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，作过F₁作两条相互垂直的直线l₁，l₂，其中直线l₁交双曲线右支于点M，直线l₂交双曲线左支于点N，以下说法一定正确的是④
①若|F₂M|＜|F₂N|，则∠MF₂N为锐角
②若|F₂M|＜|F₂N|，则∠MF₂N为钝角
③若|F₂M|＜|F₁N|，则∠MF₂N为锐角
④若|F₂M|＜|F₁N|，则∠MF₂N为钝角．

Answer 1

分析 结合已知中，过F₁作两条相互垂直的直线l₁，l₂，其中直线l₁交双曲线右支于点M，直线l₂交双曲线左支于点N，结合余弦定理和勾股定理，分别判断cos∠MF₂N的符号，进而得到答案．

解答 解：令|F₂M|=x，|F₂N|=y，则|F₁M|=x+2a，|F₁N|=y-2a，
则MN²=（x+2a）²+（y-2a）²=x²+y²-2xycos∠MF₂N，
即cos∠MF₂N=$\frac{4a（y-x+2a）}{2xy}$，
若|F₂M|＜|F₂N|，则cos∠MF₂N的符号不能确定，故∠MF₂N的大小也不确定，故①②错误；
令|F₂M|=x，|F₁N|=y，则|F₁M|=x+2a，|F₂N|=y+2a，
则MN²=（x+2a）²+y²=x²+（y+2a）²-2x（y+2a）cos∠MF₂N，
即cos∠MF₂N=$\frac{4a（y-x）}{2x（y+2a）}$，
若|F₂M|＜|F₁N|，则cos∠MF₂N＜0，
故∠MF₂N为钝角，③错误，
故说法一定正确的是④，
故答案为：④．

点评 本题考查的知识点是双曲线的简单性质，余弦定理，三角函数的符号，难度中档．