Question

20．已知A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O为坐标原点，点D在直线OC上运动，则当$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值时，点D的坐标为（　　）

• A． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• B． （$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• C． （$\frac{4}{3}$，$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{3}$）
• D． （$\frac{8}{3}$，$\frac{8}{3}$，$\frac{4}{3}$）

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=（t，t，2t），t≥0，则$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=6t²-16t+10，由此利用配方法能求出$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值时，点D的坐标．

解答 解：设$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=（t，t，2t），t≥0，
∵A（1，2，3）、B（2，1，2）、C（1，1，2），O为坐标原点，点D在直线OC上运动，
∴$\overrightarrow{DA}$=（1-t，2-t，3-2t），$\overrightarrow{DB}$=（2-t，1-t，2-2t），
∴$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=（1-t）×（2-t）+（2-t）×（1-t）+（3-2t）（2-2t）
=6t²-16t+10
=6（t-$\frac{4}{3}$）²+$\frac{26}{9}$，
当t=$\frac{4}{3}$时，$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值，
此时D（$\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{8}{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查满足条件的点的坐标的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量数量积的合理运用．