Question

【题目】如图，等腰梯形中,,为的三等分点，以为折痕把△折起，使点 到达点的位置，且与平面所成角的正切值为．

（1）证明:平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）根据折叠前后关系可得再根据线面垂直判定定理可得，最后根据面面垂直判定定理得结果，（2）作，垂足为O，则易得平面，过O作，交于G.以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得各面法向量，利用向量数量积解得法向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（1）证明：依题意得，

所以，

因为，所以平面平面．

（2）假设，由（1）过P作，垂足为O，则平面，

过O作，交于G.

以O为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，

则

设平面的法向量为，

则 即

令，得为平面的一个法向量.

同理可得平面的一个法向量为，

，

所以二面角的余弦值为．