Question

已知圆心在第一象限的圆C的半径为2

5

，且与直线x+2y-6=0切于点P（2，2）．
（1）求圆C的方程；
（2）从圆C外一点P引圆C的切线PT，T为切点，且PT=PO（O为坐标原点），求PT的最小值．

Answer 1

分析：（1）求出过点P（2，2）且与直线x+2y-6=0垂直的直线方程，因为圆心在该直线上，设出圆心坐标，由圆心到切线的距离等于半径求出圆心坐标，则圆的方程可求；
（2）设出P点的坐标，由PT=PO列式得到P点的轨迹为直线，然后求出O到该直线的距离即为PT的最小值．

解答：解：（1）过点P（2，2）且与直线x+2y-6=0垂直的直线方程为2x-y-2=0，
故可设圆的圆心为（a，2a-2），则

|a+4a-4-6|

5

=2

5

，解得a=4或a=0，
因为圆心在第一象限，故圆心坐标为（4，6），
所以圆的方程为（x-4）²+（y-6）²=20；
（2）设P（x，y），则PO=

x2+y2

，PT=

(x-4)2+(y-6)2-20

，
由PT=PO得，2x+3y-8=0，
所以PTmin=POmin=

8

13

=

8 13

13

．
即PT的最小值为

8 13

13

．

点评：本题考查了直线与圆的关系，考查了数学转化思想方法，训练了点到直线的距离公式，是中档题．