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已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的右焦点F2与抛物线C2:y2=4x的焦点重合,椭圆C1与抛物线C2在第一象限的交点为P,|PF2|=
5
3
.圆C3的圆心T是抛物线C2上的动点,圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)证明:无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点.
分析:(1)根据抛物线的方程,求出焦点坐标,然后求出椭圆的坐标,通过定义建立方程,化简即可得到椭圆C1的方程.
(2)设出点T的坐标,将抛物线方程代入圆的方程,得到一元二次方程,证明此方程恒成立即可.
解答:解:(1):∵抛物线C2:y2=4x的焦点坐标为(1,0),
∴点F2的坐标为(1,0).
∴椭圆C1的左焦点F1的坐标为F1(-1,0),
抛物线C2的准线方程为x=-1.
设点P的坐标为(x1,y1),
由抛物线的定义可知|PF2|=x1+1,
|PF2|=
5
3

x1+1=
5
3
,解得x1=
2
3

y12=4x1=
8
3
,且y1>0,得y1=
2
3
6

∴点P的坐标为(
2
3
,,
2
3
6
)

在椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
中,c=1.2a=|PF1|+|PF2|=
(
2
3
+1)
2
+(
2
3
6
-0)
2
+
(
2
3
-1)
2
+(
2
3
6
-0)
2
=4

a=2,b=
a2-c2
=
3

∴椭圆C1的方程为
x2
4
+
y2
3
=1

(2)证明:设点T的坐标为(x0,y0),圆C3的半径为r,
∵圆C3与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,
|MN|=2
r2-
x
2
0
=4

r=
4+
x
2
0

∴圆C3的方程为(x-x02+(y-y02=4+x02.(*)
∵点T是抛物线C2:y2=4x上的动点,
∴y02=4x0(x0≥0).
x0=
1
4
y
2
0

x0=
1
4
y
2
0
代入(*)
消去x0整理得:(1-
x
2
)
y
2
0
-2yy0+(x2+y2-4)=0
.(**)
方程(**)对任意实数y0恒成立,
1-
x
2
=0
-2y=0
x2+y2-4=0.

解得
x=2
y=0.

∵点(2,0)在椭圆C1
x2
4
+
y2
3
=1
上,
∴无论点T运动到何处,圆C3恒经过椭圆C1上一定点(2,0).
点评:本小题主要考查直线、圆、抛物线、椭圆等知识,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、函数与方程的数学思想方法,以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,其中F2也是抛物线C2:y2=4x的焦点,M是C1与C2在第一象限的交点,且|MF2|=
5
3

(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知菱形ABCD的顶点A,C在椭圆C1上,对角线BD所在的直线的斜率为1.
①当直线BD过点(0,
1
7
)时,求直线AC的方程;
②当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的一条准线方程是x=
25
4
,其左、右顶点分别是A、B;双曲线C2
x2
a2
-
y2
b2
=1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
(1)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率;
(2)在第一象限内取双曲线C2上一点P,连接AP交椭圆C1于点M,连接PB并延长交椭圆C1于点N,若
AM
=
MP
.求
MN
AB
的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的离心率为
2
2
,直线l:y=x+2
2
与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切.
(Ⅰ)求椭圆C1的方程.
(Ⅱ)设椭圆C1的左焦点为F1,右焦点为F2,直线l1过点F1,且垂直于椭圆的长轴,动直线l2垂直l1于点P,线段PF2的垂直平分线交l2于点M,求点M的轨迹C2的方程;
(Ⅲ)若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F2,求四边形ABCD的面积的最小值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)与双曲线C2:x2-
y2
4
=1有公共的焦点,C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A,B两点,若C1恰好将线段AB三等分,则b2=
0.5
0.5

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(2013•汕头一模)已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,离心率e=
1
2

(1)设抛物线C2:y2=4x的准线与x轴交于F1,求椭圆的方程;
(2)设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点,顶点为焦点,b是双曲线C3在第一象限上任意-点,问是否存在常数λ(λ>0),使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.

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