Question

9．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a≠b，c=2$\sqrt{3}$．cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA=$\frac{4}{5}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）△ABC中，由条件利用二倍角公式化简可得-2sin（A+B）sin（A-B）=2$\sqrt{3}$•cos（A+B）sin（A-B），求得tan（A+B）的值，可得A+B的值，从而求得C的值．
（2）由sinA=$\frac{4}{5}$求得cosA的值．再由正弦定理求得a，再求得 sinB=sin[（A+B）-A]的值，从而求得△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB的值．

解答 解：（Ⅰ）∵△ABC中，a≠b，c=$\sqrt{3}$，cos²A-cos²B=$\sqrt{3}$sinAcosA-$\sqrt{3}$sinBcosB，
∴$\frac{1+cos2A}{2}$-$\frac{1+cos2B}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B，
即 cos2A-cos2B=$\sqrt{3}$sin2A-$\sqrt{3}$sin2B，
即-2sin（A+B）sin（A-B）=2$\sqrt{3}$•cos（A+B）sin（A-B）．
∵a≠b，∴A≠B，sin（A-B）≠0，
∴tan（A+B）=-$\sqrt{3}$，
∴A+B=$\frac{2π}{3}$，∴C=$\frac{π}{3}$；
（2）∵sinA=$\frac{4}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，C=$\frac{π}{3}$，
∴A＜$\frac{π}{3}$，或A＞$\frac{2π}{3}$（舍去），
∴cosA=$\sqrt{1-si{n}^{2}A}$=$\frac{3}{5}$．
由正弦定理可得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$，即 $\frac{a}{\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
∴a=$\frac{16}{5}$．
∴sinB=sin[（A+B）-A]=sin（A+B）cosA-cos（A+B）sinA
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{3}{5}$-（-$\frac{1}{2}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$，
∴△ABC的面积为$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{5}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$=$\frac{32\sqrt{3}+72}{25}$．

点评 本题主要考查二倍角公式、两角和差的三角公式、正弦定理的应用，属于中档题．