Question

【题目】已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）若，在上恒成立，求整数的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ，当时，在上为增函数；当时，在上为增函数，在上为减函数.

(2) 整数的最大值为.

【解析】分析：（1）先求导数，再解不等式，根据a的大小讨论单独区间，（2）先参变分离，转化研究函数最小值，利用导数可得单调性以及最小值取值范围，最后确定整数的最大值.

详解：（1），

当时，，则在上为增函数，

当时，由，得，则在上为增函数；

由，得，则在上为减函数.

综上，当时，在上为增函数；

当时，在上为增函数，在上为减函数.

（2）由题意，恒成立，即，

设，则，

令.则，

所以，在上为增函数，

由，，，

故在上有唯一实数根，

使得，

则当时，；当时，,

即在上为减函数，上为增函数，

所以在处取得极小值，为，

∴，由，得整数的最大值为.