Question

【题目】如图，椭圆经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若是椭圆上的两个点，线段的中垂线的斜率为且直线与交于点，为坐标原点，求证：三点共线.

Answer 1

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】分析：(1)根据椭经过点，且点到椭圆的两焦点的距离之和为，结合性质 ，，列出关于 、 的方程组，求出 、 ，即可得椭圆的标准方程；(2)可设直线的方程为，联立得，设点，根据韦达定理可得，所以点在直线上，

又点也在直线上，进而得结果.

详解：(1)因为点到椭圆的两焦点的距离之和为，

所以，解得

又椭圆经过点，所以，

所以

所以椭圆的标准方程为.

(2)证明：因为线段的中垂线的斜率为，

所以直线的斜率为，

所以可设直线的方程为

据得

设点，

所以，

所以.

因为，所以

所以点在直线上，

又点也在直线上，

所以三点共线.