Question

【题目】“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将连接，设中边所对的角为，中边所对的角为，经测量已知，.

（1）霍尔顿发现无论多长，为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；

（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在和中分别对使用余弦定理，可推出与的关系，即可得出是一个定值；

（2）求出的表达式，利用二次函数的基本性质以及余弦函数值的取范围，可得出的最大值.

（1）在中，由余弦定理得，

在中，由余弦定理得，，

则，；

（2），，

则，

由（1）知：，代入上式得：

，

配方得：，

当时，取到最大值.