Question

已知锐角三角形ABC中，向量

m

=（2-2sinB，cosB-sinB），

n

=（1+sinB，cosB+sinB），且

m

⊥

n

．
（1）求角B的大小；
（2）当函数y=2sin²A+cos（

C-3A

2

）取最大值时，判断三角形ABC的形状．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用向量的数量积运算，根据向量垂直建立方程，即可求得角B的大小；
（2）将函数解析式转化为A的三角函数，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据B的度数，得出A的范围，求出这个角的范围，根据正弦函数的图象与性质求出f（B）取得最大值时A的度数，可得出此时C的度数，进而判断出此三角形为等边三角形；

解答： 解：（1）∵

m

⊥

n

，∴

m

•

n

=0，
即：（2-2sinB）（1+sinB）+（cosB-sinB）（cosB+sinB）=0，
化简可得3-4sin²B=0，∴sinB=

3

2

，
∵三角形ABC是锐角三角形，
∴B=

π

3

．
（2）由（1）可知，B=

π

3

，函数y=2sin²A+cos（

C-3A

2

）=2sin²A+cos（

π-B-A-3A

2

）
=2sin²A+cos（

π

3

-2A）=-cos2A+

1

2

cos2A+

3

2

sin2A+1=sin（2A-

π

6

）+1．
当2A-

π

6

=

π

2

时，即A=

π

3

时，y有最大值，此时A=B=C，
∴△ABC是正三角形．

点评：考查了两角和与差的三角函数，二倍角的正弦、余弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，三角形形状的判断，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．