Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC=45°，PA=AD=2，AC=1。

（1）证明：PC⊥AD；
（2）求二面角A-PC-D的正弦值；
（3）设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长。

Answer 1

解：（1）证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，
又由AD⊥AC，PA∩AC=A，
故AD⊥平面PAC，
又PC?平面PAC，
所以PC⊥AD。
（2）如图，作AH⊥PC于点H，连接DH，
由PC⊥AD，PC⊥AH，
可得PC⊥平面ADH，
因此DH⊥PC，从而∠AHD为二面角A-PC-D的平面角
在RT△PAC中，PA=2，AC=1，所以AH=，
由（1）知，AD⊥AH，在RT△DAH中，DH==，
因此sin∠AHD==
所以二面角A-PC-D的正弦值为。
（3）如图，因为∠ADC＜45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF，故∠EBF（或其补角）为异面直线BE与CD所成的角
由于BF∥CD，故∠AFB=∠ADC，
在RT△DAC中，CD=，sin=∠ADC=，
故sin∠AFB=
在△AFB中，由，AB=，sin∠FAB=sin135°=，
可得BF=，
由余弦定理，BF²=AB²+AF²-2ABAFcos∠FAB，得出AF=，
设AE=h，在RT△EAF中，EF==，
在RT△BAE中，BE==，
在△EBF中，因为EF＜BE，从而∠EBF=30°，
由余弦定理得到，cos30°=，解得h=，
即AE=。