Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）
（1）若f（-1）=0，试判断函数f（x）零点的个数；
（2）是否存在a，b，c∈R，使f（x）同时满足以下条件：①f（-1+x）=f（-1-x）且f（x）≥0；
②对0≤f（x）-x≤

1

2

（x-1）²．若存在，求出a，b，c的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过对二次函数对应方程的判别式进行分析判断方程根的个数，从而得到零点的个数；
（2）存在性问题的一般处理方法就是假设存在，然后根据题设条件求得参数的值．

解答：解：（1）∵f（-1）=0，
∴a-b+c=0，
即b=a+c，
故△=b²-4ac=（a+c）²-4ac=（a-c）²
当a=c时，△=0，函数f（x）有一个零点；
当a≠c时，△＞0，函数f（x）有两个零点．
（2）假设存在a，b，c满足题设，由条件①知抛物线的对称轴为x=-1，
且f（x）min=0；
∴

- b 2a =-1 △=b2-4ac=0

，
即

b=2a b2=4ac

，解得a=c．
在条件②中令x=1，有0≤f（1）-1≤0，
∴f（1）=1，
即a+b+c=1，
由

a+b+c=1 b=2a a=c

，
解得a=c=

1

4

，b=

1

2

成立．
∴存在a=c=

1

4

，b=

1

2

，使f（x）同时满足条件①②．

点评：本题考查函数零点个数与方程根的个数问题，以及存在性问题的处理方式，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键．