Question

7．已知函数f（x）=x²-a|x-1|．
（1）若y=f（x）是偶函数，求a的值；
（2）当a＜0时，直接写出函数y=f（x）的单调区间（不需给出演算步骤）；
（3）当a＞0时，求函数y=f（x），x∈[0，4]的最小值g（a）和最大值h（a）．

Answer 1

分析 （1）由偶函数的定义即可得到a|x-1|=a|x+1|，要使该等式恒成立显然a=0；
（2）去绝对值号f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$，讨论对称轴和1的关系，根据二次函数的单调性即可写出函数f（x）的单调区间；
（3）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$，讨论对称轴和1及区间[0，4]的关系即可判断f（x）在[0，4]上的单调性，根据单调性即可求出每种情况下的函数f（x）的最小值和最大值，从而便可得出g（a），h（a）．

解答 解：（1）f（x）是偶函数；
∴f（-x）=x²-a|x+1|=x²-a|x-1|；
∴a|x+1|=a|x-1|；
|x+1|=|x-1|不能恒成立；
∴a=0；
（2）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-ax+a}&{x≥1}\\{{x}^{2}+ax-a}&{x＜1}\end{array}\right.$；
①-2＜a＜0时，增区间为（$-\frac{a}{2}，+∞$），单调减区间为（-∞，$-\frac{a}{2}$）；
②a≤-2时，增区间为（1，+∞），减区间为（-∞，1）；
（3）①0＜a≤2时，f（x）在[0，4]上单调递增；
∴f（x）_min=f（0）=-a，f（x）_max=16-3a；
②2＜a＜8时，f（x）在[0，1]，（$\frac{a}{2}$，4]上单调递增，在（1，$\frac{a}{2}$）上单调递减；
∴$f（x）_{min}=min\{f（0），f（\frac{a}{2}）\}$=$min\{-a，a-\frac{{a}^{2}}{4}\}=-a$；
f（x）_max=max{f（1），f（4）}=max{1，16-3a}=$\left\{\begin{array}{l}{1}&{5≤a＜8}\\{16-3a}&{2＜a＜5}\end{array}\right.$；
③a≥8时，f（x）在[0，1]上单调递增，在（1，4]上单调递减；
∴f（x）_min=min{f（0），f（4）}=min{-a，16-3a}=16-3a；
f（x）_max=f（1）=1；
综上得$g（a）=\left\{\begin{array}{l}{-a}&{0＜a＜8}\\{16-3a}&{a≥8}\end{array}\right.$，h（a）=$\left\{\begin{array}{l}{16-3a}&{0＜a＜5}\\{1}&{a≥5}\end{array}\right.$．

点评 考查偶函数的定义，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，二次函数的单调性和对称轴的关系，根据函数的单调性求函数的最值，以及分段函数最值的求法．