Question

【题目】已知函数.

（1）若，解不等式；

（2）是否存在实数，使不等式对一切实数恒成立？若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，满足题意，详见解析

【解析】

（1）分别在和两种情况下去掉绝对值符号得到不等式，解不等式求得解集；（2）当时，可验证恒成立，则；当时，将不等式变为，由于，可知不等式恒成立，得到；当时，将不等式转化为，通过分离变量的方式得到与函数和的大小关系，通过求解函数最值得到；将三种情况取交集得到最终结果.

（1）当时，

当时，等价于，解集为

当时，等价于，解得：

综上所述：不等式的解集为：

（2）等价于

当时，不等式为：，恒成立

当时，不等式为：

恒成立且

又

当时，不等式为：

即

且

令

当时，

（当且仅当时取等号）

令

当时，

则当时，

综上所述：当时，对恒成立