【题目】已知函数,
.
(1)当时,求
的值域;
(2)当时,求
的最小值
;
(3)当时,若
,都
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
或
.
【解析】
(1)计算开口向上的二次函数值域,先计算函数最小值,然后写出值域即可;(2)根据对称轴与区间的位置关系确定最小值,注意分类讨论;(3)通过条件得到两个函数在给定区间上的值域关系,然后分类讨论计算出
的取值范围.
(1)由已知得,
又,
时,
,
的值域为
(2)由已知得.
①当,即
时,
在
上是增函数,
, 即
,
②当,即
时,可得
,
即 ,
③当,即
时,
在
上是减函数,
即
,
综上所述 .
(3)设函数在
上的值域为
,函数
在
上的值域为
,
由已知得,又
,
,
,
①当时,
,不合题意,舍去;
②当时, 函数
的值域为
,
,
,解得
,
③当时, 函数
的值域为
,
,
,解得
,
综上所述:实数的取值范围为
或
.
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【题目】已知为平面内不共线的三点,
表示
的面积
(1)若求
;
(2)若,
,
,证明:
;
(3)若,
,
,其中,且坐标原点
恰好为
的重心,判断
是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题正确的有________(只填序号)
①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑤若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.
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【题目】已知函数恒过定点
.
(1)求实数.
(2)在(1)的条件下,将函数的图象向下平移
个单位,再向左平移
个单位后得到函数
,设函数
的反函数为
,求
的解析式.
(3)对于定义在上的函数
,若在其定义域内,不等式
恒成立,求
的取值范围.
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【题目】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费(单位:万元)对年销售量
(单位:吨)和年利润
(单位:万元)的影响。对近六年的年宣传费
和年销售量
的数据作了初步统计,得到如下数据:
年份 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年宣传费 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
年销售量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24.0 | 25.5 |
经电脑拟,发现年宣传费(万元)与年销售量
(吨)之间近似满足关系式
即
。对上述数据作了初步处理,得到相关的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程;
(2)规定当产品的年销售量(吨)与年宣传费
(万元)的比值在区间
内时认为该年效益良好。现从这6年中任选2年,记其中选到效益良好年的数量为
,试求随机变量
的分布列和期望。(其中
为自然对数的底数,
)
附:对于一组数据,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
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【题目】已知等比数列的公比
,前
项和为
,且满足
.
,
,
分别是一个等差数列的第1项,第2项,第5项.
(1)求数列的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
;
(3)若,
的前
项和为
,且对任意的
满足
,求实数
的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)的定义域为{x|x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1、x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时,f(x)>0.
(1)求证:f(x)是偶函数;
(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
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