Question

10．已知动直线kx-y+4-3k=0与圆x²+y²-6x-8y+24=0交于A，B两点，平面上的动点P满足：|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=4，则动点P到坐标原点O的距离的最大值为多少．

Answer 1

分析 由条件可得直线经过圆心，点P在以点M为圆心、半径等于2的圆上，求得OM的值，则OM+2为所求．

解答 解：动直线kx-y+4-3k=0，即 k（x-3）-y+4=0，经过定点M（3，4），
圆x²+y²-6x-8y+24=0，即 （x-3）²+（y-4）²=1，表示以M（3，4）为圆心、半径等于1的圆．
故线段AB的中点为M，故有$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$=2$\overrightarrow{PM}$．
结合|$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$|=4，可得PM=|$\overrightarrow{PM}$|=2，故点P在以点M为圆心、半径等于2的圆上，
由于OM=5，
∴动点P到坐标原点O的距离的最大值为OM+2=7．

点评 本题主要考查直线经过定点问题，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．