Question

2．“光盘行动”倡导厉行节约，反对铺张浪费，带动大家珍惜粮食，吃光盘子中的食物，得到从中央到民众的支持，为了解某地响应“光盘行动”的实际情况，某校几位同学组成研究性学习小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：

组数	分组	频数	频率	“光盘族”占本组比例
第1组	[25，30）	50	0.05	30%
第2组	[30，35）	100	0.10	30%
第3组	[35，40）	150	0.15	40%
第4组	[40，45）	200	0.20	50%
第5组	[45，50）	a	b	65%
第6组	[50，55）	200	0.20	60%

（Ⅰ）求a，b的值，并估计本社区[25，55]岁的人群中“光盘族”所占比例；
（Ⅱ）从年龄段在[35，40）与[40，45）的“光盘族”中，采用分层抽样方法抽取8人参加节约粮食宣传活动，并从这8人中选取2人作为领队．
（i）已知选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段[40，45）中的概率；
（ii）求2名领队的年龄之和的期望值（每个年龄段以中间值计算）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由统计表先求出n的值，由此求出a和b，从而能求出样本中的“光盘族”人数．
（Ⅱ）（ⅰ）记事件A为“其中1人来自年龄段[35，40）”，事件B为“另一人来自年龄段[40，45）”，由条件概率公式能求出选取2人中1人来自[35，40）中的前提下，求另一人来自年龄段[40，45）中的概率．
（ⅱ）设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75，80，85，分别求出相应的概率，由此能求出2名领队的年龄之和的期望值．

解答 解：（Ⅰ）由已知得n=$\frac{50}{0.05}$=1000，
b=1-（0.20+0.20+0.15+0.10+0.05）=0.30，
a=1000×0.30=300
样本中的“光盘族”人数为：
50×30%+100×30%+150×40%+200×50%+300×65%+200×60%=520，
样本中“光盘族”所占比例为$\frac{520}{1000}×100%=52%$．…（4分）
（Ⅱ）（ⅰ）记事件A为“其中1人来自年龄段[35，40）”，事件B为“另一人来自年龄段[40，45）”，
所以概率为P（B/A）=$\frac{P（AB）}{P（A）}$=$\frac{\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}}{\frac{{C}_{3}^{2}+{C}_{3}^{1}{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}}$=$\frac{5}{6}$．…（8分）
（ⅱ）设2名领队的年龄之和为随机变量ξ，则ξ的取值为75，80，85，
P（ξ=75）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{8}^{2}}=\frac{3}{28}$，
P（ξ=80）=$\frac{{C}_{3}^{1}•{C}_{5}^{1}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{15}{28}$，
P（ξ=85）=$\frac{{C}_{5}^{2}}{{C}_{8}^{2}}$=$\frac{5}{14}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	75	80	85
P	$\frac{3}{28}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{5}{14}$

所以Eξ=75×$\frac{3}{28}$+80×$\frac{15}{28}$+85×$\frac{5}{14}$=81.25．…（12分）

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要注意分层抽样、排列组合等知识点的合理运用．