Question

13．已知函数g（x）=3ax+2b，x∈[-1，1]单调递增，且有最大值2，函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，x∈[-1，1]的任一切线都不会与双曲线y²-x²=1的两支相交，且f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$
（1）求证：-2≤g（x）≤2；
（2）求f（x）的解析式；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）由函数的单调性可得a＞0，结合双曲线的渐近线方程和题意可得-1≤f′（x）≤1，x∈[-1，1]，即可得证；
（2）由$\left\{\begin{array}{l}{-1≤f′（0）≤1}\\{-1≤f′（1）≤1}\\{3a+2b=2}\end{array}\right.$，可得c=-1，再由导数f′（x）∈[-1，1]，可知二次函数f′（x）的对称轴为y轴，即b=0，a=$\frac{2}{3}$，再由f（x）的最大值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，可得d=0，进而得到所求解析式；
（3）由f（-1），f（1），f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$），即可得到最小值．

解答 （1）证明：函数g（x）=3ax+2b，x∈[-1，1]单调递增，即有a＞0，
最大值2，即为3a+2b=2，
函数f（x）=ax³+bx²+cx+d的导数为f′（x）=3ax²+2bx+c，x∈[-1，1]，
由双曲线y²-x²=1的渐近线y=±x的斜率为±1，
可得-1≤f′（x）≤1，x∈[-1，1]，
由g（-1）=-3a+2b，f′（-1）=3a-2b+c，f′（0）=c，
则-2≤f′（0）-f′（-1）=g（-1）=[g（x）]_min，
又当x∈[-1，1]时，[g（x）]_max=2，从而-2≤g（x）≤2；
（2）解：$\left\{\begin{array}{l}{-1≤f′（0）≤1}\\{-1≤f′（1）≤1}\\{3a+2b=2}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-1≤c≤1}\\{-1≤3a+2b+c≤1}\\{3a+2b=2}\end{array}\right.$，
即有$\left\{\begin{array}{l}{-1≤c≤1}\\{-3≤c≤-1}\end{array}\right.$，于是c=-1，
而f′（x）∈[-1，1]，可知二次函数f′（x）的对称轴为y轴，即b=0，
可得a=$\frac{2}{3}$，则f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x+d，
考虑到f′（x）=2x²-1=0，得x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
从而[f（x）_max}=max{f（-1），f（1），f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）}
=f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=$\frac{\sqrt{2}}{3}$+d=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
解得d=0，则f（x）=$\frac{2}{3}$x³-x；
（3）解：由题意可得f（x）_min=min{f（-1），f（1），f（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）}
=f（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．