Question

4．已知直线l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数，α为l的倾斜角，且0＜α＜π）与曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ为参数）相交于A、B两点，点F的坐标为（1，0）．
（1）求△ABF的周长；
（2）若点E（-1，0）恰为线段AB的三等分点，求△ABF的面积．

Answer 1

分析 （1）运用同角的平方关系和代入法，化参数方程为普通方程，再由椭圆的定义，即可得到所求三角形ABF的周长；
（2）联立直线方程和椭圆方程，消去x，运用韦达定理和三等分点，求得|y₁-y₂|，进而运用三角形的面积公式，计算即可得到．

解答 解：（1）曲线C：$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$化为普通方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
直线L：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$化为普通方程为y=tanα•（x+1），
直线恒过椭圆的左焦点F'（-1，0），
由椭圆的定义可得，△ABF的周长为|AF'|+|AF|+|BF'|+|BF|=4a=4$\sqrt{2}$；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入椭圆方程，消去x，可得（2+cot²α）y²-2cotα•y-1=0，
则y₁+y₂=$\frac{2cotα}{2+co{t}^{2}α}$，y₁y₂=-$\frac{1}{2+co{t}^{2}α}$，①
点E（-1，0）恰为线段AB的三等分点，即有2y₁=-y₂，②
解得cotα=±$\frac{\sqrt{14}}{7}$，
则△ABF的面积为S=$\frac{1}{2}$|FF'|•|y₁-y₂|=|y₁-y₂|=$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{3\sqrt{14}}{8}$．

点评 本题主要考查参数方程和普通方程的互化，同时考查椭圆的定义和直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．