Question

18．如图四棱锥P-ABCD的底面是梯形，BC∥AD，AB=BC=CD=1，AD=2，平面PAC⊥平面ABCD．
（1）求证：AP⊥CD；
（2）当PA=PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时，求二面角B-AP-D平面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出AC⊥DC，从而得到DC⊥平面APC，由此能证明AP⊥CD．
（2）取AC中点O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角B-AP-D平面角的余弦值．

解答 （1）证明：∵棱锥P-ABCD的底面是梯形，BC∥AD，AB=BC=CD=1，AD=2，
∴∠ABC=∠BCD=120°，∠BAD=∠CAD=60°，∠BAC=∠BCA=30°，
∴∠ACD=90°，即AC⊥DC，
∵平面PAC⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面APC，
∵AP?平面APC，∴AP⊥CD．
（2）解：取AC中点O，连结PO，BO，
∵PA=PC=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，∴PO⊥AC，
由（1）知DC⊥AC，AC=$\sqrt{3}$，∴OB⊥AC，且OB=$\frac{1}{2}DC=\frac{1}{2}$，
以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，
则B（$\frac{1}{2}，0，0$），A（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），D（-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AB}$=（$\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{AD}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），
设平面ABP的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=\frac{\sqrt{3}}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}y=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，-1，1），
设平面ADP的法向量$\overrightarrow{m}=（a，b，c）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=\frac{\sqrt{3}}{2}b+\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AD}=-a+\sqrt{3}b=0}\end{array}\right.$，取a=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{m}$=（$\sqrt{3}$，1，-1），
设二面角B-AP-D平面角为α，
cosα=|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{3-1-1}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$|=$\frac{1}{5}$．
∴二面角B-AP-D平面角的余弦值为$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．