Question

6．如图，几何体ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，平面ACC₁A₁为矩形，平面ACC₁A₁⊥平面BCC₁B₁，已知AC=3，BC=AA₁=4，BB₁=5，B₁C₁=1
（Ⅰ）若平面AA₁B∩平面BCC₁B₁=l，求证：l∥CC₁；
（Ⅱ）求钝二面角A-A₁B-B₁的余弦值．

Answer 1

分析 （I）如图所示，设平面AA₁B∩平面BCC₁B₁=l=BD，延长C₁B₁∩l=D，连接A₁D．由于AA₁∥CC₁，可得AA₁∥平面BCC₁B₁，于是AA₁∥BD，即可证明．
（II）：如图所示，过点B₁，作B₁E∥CC₁，交BC于点E，可得四边形B₁ECC₁是平行四边形．利用勾股定理的逆定理可得：B₁E⊥BC．延长四边形B₁ECC₁是矩形．建立空间直角坐标系．分别求出二面角的两个半平面的法向量，利用向量的夹角公式即可得出．

解答 （I）证明：如图所示，
设平面AA₁B∩平面BCC₁B₁=l=BD，延长C₁B₁∩l=D，连接A₁D．
∵AA₁∥CC₁，CC₁?平面BCC₁B₁，AA₁?平面BCC₁B₁，
∴AA₁∥平面BCC₁B₁，
∴AA₁∥BD，
∴BD∥CC₁，即l∥CC₁；
（II）解：如图所示，过点B₁，作B₁E∥CC₁，交BC于点E．
∵B₁C₁∥BC，
∴四边形B₁ECC₁是平行四边形．
∴B₁E=4，CE=1，∴BE=3．
∴B₁E⊥BC．
∴四边形B₁ECC₁是矩形．
建立空间直角坐标系．
A（0，0，3），B（4，0，0），A₁（0，4，3），B₁（1，4，0）．
$\overrightarrow{AB}$=（4，0，-3），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（4，-4，-3），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（-3，4，0）．
设平面ABA₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{4x-3z=0}\\{4x-4y-3z=0}\end{array}\right.$，
令x=3，解得z=4，y=0，则$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（3，0，4）．
同理可得：平面A₁BB₁的法向量为$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（12，9，4）．
∴$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{36+0+16}{5\sqrt{1{2}^{2}+{9}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{52\sqrt{241}}{1205}$．
∴钝二面角A-A₁B-B₁的余弦值为-$\frac{52\sqrt{241}}{1205}$．

点评 本题考查了空间位置关系、空间角、向量的夹角关系、线面垂直与平行的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．