Question

17．在钝角△ABC中，若B=2A，则$\frac{b}{a}$的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理、二倍角的正弦公式求得$\frac{b}{a}$=2cosA，再分B为钝角、C为钝角两种情况，分别求得A的范围，可得$\frac{b}{a}$的取值范围．

解答 解：钝角△ABC中，∵B=2A，则$\frac{b}{a}$=$\frac{sinB}{sinA}$=$\frac{sin2A}{sinA}$=$\frac{2sinAcosA}{sinA}$=2cosA．
若B为钝角，即 $\frac{π}{2}$＜2A＜π，即$\frac{π}{4}$＜A＜$\frac{π}{2}$，∴0＜cosA＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴$\frac{b}{a}$∈（0，$\sqrt{2}$）．
若C=π-A-B=π-3A为钝角，则$\frac{π}{2}$＜π-3A＜π，∴0＜A＜$\frac{π}{6}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜cosA＜1，∴$\frac{b}{a}$∈（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
综上可得，$\frac{b}{a}$的取值范围是（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
故答案为：（0，$\sqrt{2}$）∪（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．

点评 本题主要考查二倍角的正弦公式、正弦定理的应用，余弦函数的定义域和值域，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．