Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的右焦点为F（1，0），过点F且不与坐标轴垂直的直线x=my+1交椭圆C于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G（t，0）．
（Ⅰ）当t=0时，求实数m的值；
（Ⅱ）求证：对于任意的实数m，都不存在直线AB，使得AG⊥BG．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当t=0时，线段AB的垂直平分线过原点，可得k_OD=-$\frac{1}{m}$，即可求实数m的值；
（Ⅱ）求出G的坐标，证明$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BG}$＜0，即可证明对于任意的实数m，都不存在直线AB，使得AG⊥BG．

解答 （Ⅰ）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞1）的右焦点为F（1，0），
∴a=2，
∴椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1
设直线AB的方程为x=my+1，
与椭圆方程联立可得可得（m²+2）y²+2my-1=0．
记A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点N（x₀，y₀），
则y₁+y₂=$\frac{-2m}{{m}^{2}+2}$，y₁y₂=-$\frac{1}{{m}^{2}+2}$．
可得y₀=$\frac{-m}{{m}^{2}+2}$，x₀=mx₀+1=$\frac{2}{{m}^{2}+2}$
∵t=0，
∴线段AB的垂直平分线过原点，
∴k_OD=-$\frac{1}{m}$，
∴-$\frac{m}{2}$=-$\frac{1}{m}$，
∴m=±$\sqrt{2}$；
（Ⅱ）证明：线段AB的垂直平分线的方程为y-$\frac{-m}{{m}^{2}+2}$=-$\frac{1}{m}$（x-$\frac{2}{{m}^{2}+2}$），
令y=0，可得x=$\frac{2-{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，即t=$\frac{2-{m}^{2}}{{m}^{2}+2}$，
∴$\overrightarrow{AG}$•$\overrightarrow{BG}$=A（t-x₁，-y₁）•（t-x₂，-y₂）=t²-t（x₁+x₂）+x₁x₂+y₁y₂=$\frac{-（{m}^{2}+\frac{3}{2}）^{2}-\frac{1}{4}}{（{m}^{2}+2）^{2}}$＜0，
∴对于任意的实数m，都不存在直线AB，使得AG⊥BG．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．