Question

20．已知函数f（x）=$\frac{4co{s}^{4}x-2cos2x-1}{tan（\frac{π}{4}+x）co{s}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$．
（1）求f（-$\frac{5π}{12}$）的值；
（2）求g（x）=$\frac{1}{2}$f（x）+sin2x的对称轴，对称中心和最大值．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角公式以及两角和的正切函数化简表达式，代入数值求解即可．
（2）化简g（x）=$\frac{1}{2}$f（x）+sin2x，然后求解对称轴，对称中心和最大值．

解答 解：（1）函数f（x）=$\frac{4co{s}^{4}x-2cos2x-1}{tan（\frac{π}{4}+x）co{s}^{2}（\frac{π}{4}+x）}$=$\frac{cos2x（2{cos}^{2}x+1）-2cos2x}{\frac{1+tanx}{1-tanx}×\frac{1}{2}{（cosx-sinx）}^{2}}$=$\frac{2cos2x（2{cos}^{2}x+1）-4cos2x}{（cosx+sinx）{（cosx-sinx）}^{\;}}$
=4cos²x=2cos2x+2．
f（-$\frac{5π}{12}$）=2cos（-$\frac{5π}{6}$）+2=2-$\sqrt{3}$．
（2）g（x）=$\frac{1}{2}$f（x）+sin2x=cos2x+sin2x+1=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
由2x+$\frac{π}{4}$=$kπ+\frac{π}{2}$，k∈Z，可得x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，函数的对称轴x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{8}$，k∈Z，
由2x+$\frac{π}{4}$=kπ，k∈Z，解得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，k∈Z，
对称中心（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{8}$，1），k∈Z；
最大值：$\sqrt{2}+1$．

点评 本题考查三角函数的化简求值，三角函数的性质的应用，考查计算能力．