Question

12．（1）求（2-$\sqrt{x}$）⁸展开式中不含x⁴项的系数的和；
（2）若C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=363，求自然数n的值．

Answer 1

分析 （1）令x=1得（2-$\sqrt{x}$）⁸展开式中的各项系数和为1，再求得含x⁴项的系数，可得（2-$\sqrt{x}$）⁸展开式中不含x⁴项的系数的和．
（2）由条件利用二项式系数的性质，求得自然数n的值．

解答 解：（1）令x=1得（2-$\sqrt{x}$）⁸展开式中的各项系数和为1，而含x⁴项的系数为 $C_8^8{2^0}{（-1）^8}=1$，
故（2-$\sqrt{x}$）⁸展开式中不含x⁴项的系数的和为1-1=0．
（2）∵C${\;}_{3}^{2}$+C${\;}_{4}^{2}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{5}^{3}$+C${\;}_{5}^{2}$+…+C${\;}_{n}^{2}$=${C}_{n+1}^{3}$=364，∴n=13．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．