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    1．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x3-x，f′（x）是函数f（x）的导函数，数列{an}满足条件：a1≥1，an+1≥f′（an+1）．
    （1）猜想an与2n-1的大小关系，并用数学归纳法证明你的结论；
    （2）证明：$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$＜1．

    分析 （1）先猜想an与2n-1的大小关系，然后利用数学归纳法证明你的结论；
    （2）由（1）得1+an≥2n，$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，然后利用放缩法进行证明不等式．

    解答 解：（1）∵f′（x）=x2-1，an+1≥f′（an+1）．
    ∴an+1≥（an+1）2-1．
    ∵g（x）=（x+1）2-1=x2+2x在[-1，+∞）上单调递增，
    ∴由a1≥1，an+1≥（an+1）2-1．
    得a2≥22-1．
    进而得到a3≥23-1，猜想an≥2n-1．
    用归纳法进行证明：
    ①当n=1时，a1≥2-1=1成立．
    ②假设当n=k时，结论成立，即ak≥2k-1．
    则当n=k+1时，由（x）=（x+1）2-1=x2+2x在[-1，+∞）上单调递增，
    得an+1≥（an+1）2-1≥2k+1+1．即当n=k+1时，结论也成立．
    综上由①②得对任意的n∈N•，an≥2n-1恒成立．
    （2）由（1）得1+an≥2n，
    ∴$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{{2}^{n}}$，
    ∴$\frac{1}{1+{a}_{1}}$+$\frac{1}{1+{a}_{2}}$+$\frac{1}{1+{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{1+{a}_{n}}$≤$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}•[1-（\frac{1}{2}）^{n}]}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）n＜1．

    点评 本题主要考查数学归纳法的应用以及不等式的证明，利用放缩法是解决本题的关键．

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