Question

9．已知：x＞0，y＞0，且$\frac{x}{2}$+y+$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{y}$=5，则x+2y的取值范围为[2，8]．

Answer 1

分析 令2y=t，代入已知式子由基本不等式可得xt≤$\frac{1}{4}$（x+t）²，进而可得关于x+t的不等式，解不等式可得．

解答 解：令2y=t，原式化为$\frac{x}{2}$+$\frac{t}{2}$+$\frac{2}{x}$+$\frac{2}{t}$=5，
∴$\frac{1}{2}$（x+t）+$\frac{2（x+t）}{xt}$=5，
∵由基本不等式可得xt≤（$\frac{x+t}{2}$）²=$\frac{1}{4}$（x+t）²，
∴5=$\frac{1}{2}$（x+t）+$\frac{2（x+t）}{xt}$≥$\frac{1}{2}$（x+t）+$\frac{2（x+t）}{\frac{1}{4}（x+t）^{2}}$=$\frac{1}{2}$（x+t）+$\frac{8}{x+t}$，
∴（x+t）2-10（x+t）+16≤0
解关于x+t的不等式可得2≤x+t≤8，
∴x+t即x+2y的取值范围为[2，8]
故答案为：[2，8]

点评 本题考查基本不等式和不等式的解法求最值，变形和换元是解决问题的关键，属中档题．