Question

12．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=16{t}^{2}-9}\end{array}\right.$（t为参数），倾斜角等于$\frac{2π}{3}$的直线l经过P，在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，点P的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$）
（1）求点P的直角坐标；
（2）设l与曲线C交于A、B两点，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）根据x=ρcosθ、y=ρsinθ可得点P的直角坐标；
（2）利用参数的几何意义，即可求|PA|•|PB|．

解答 解：（1）点P的极坐标为（1，$\frac{π}{2}$），直角坐标为（0，1）
（2）倾斜角等于$\frac{2π}{3}$的直线l经过P，参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2t}\\{y=16{t}^{2}-9}\end{array}\right.$，普通方程为y=4x²-9，
代入可得t²-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t-10=0，
∵点P的坐标为（0，1），
∴|PA|•|PB|=-10．

点评 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查参数的几何意义，考查运算求解能力，属于中档题．