Question

3．已知在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱A₁A⊥底面ABC，∠ACB=90°，E是棱CC₁上的动点，F是AB的中点，AC=1，BC=2，AA₁=4．当E为CC₁中点时，
（1）标出所有点坐标；
（2）求异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（3）求面CFB₁，AB₁E的法向量．

Answer 1

分析 （1）可分别以CA，CB，CC₁三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，根据已知的边的长度，求出所有点的坐标即可；
（2）求出向量$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}$的坐标，然后求出$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞$，从而得出异面直线AE与CF所成角的余弦值；
（3）先求出$\overrightarrow{C{B}_{1}}$的坐标，可设平面CFB₁的法向量为$\overrightarrow{m}$，根据$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$即可得出法向量$\overrightarrow{m}$，同样的方法可求出平面AB₁E的坐标．

解答 解：（1）根据条件知，CA，CB，CC₁三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则可确定各点坐标：
C（0，0，0），A（1，0，0），B（0，2，0），F（$\frac{1}{2}，1，0$），A₁（1，0，4），B₁（0，2，4），C₁（0，0，4），E（0，0，2）；
（2）$\overrightarrow{AE}=（-1，0，2），\overrightarrow{CF}=（\frac{1}{2}，1，0）$；
∴$cos＜\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{CF}＞=\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{CF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{5}•\frac{\sqrt{5}}{2}}=-\frac{1}{5}$；
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{1}{5}$；
（3）$\overrightarrow{C{B}_{1}}=（0，2，4）$；
设平面CFB₁的法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}{x}_{1}+{y}_{1}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{C{B}_{1}}=2{y}_{1}+4{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
取y₁=2，则x₁=-4，z₁=-1，∴$\overrightarrow{m}=（-4，2，-1）$；
即平面CFB₁的法向量为（-4，2，-1）；
同理，设平面AB₁E的法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}=（-1，2，4）$，$\overrightarrow{AE}=（-1，0，2）$，则：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-{x}_{2}+2{y}_{2}+4{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-{x}_{2}+2{z}_{2}=0}\end{array}\right.$；
取z₂=1，则$\overrightarrow{n}=（2，-1，1）$；
即平面AB₁E的法向量为（2，-1，1）．

点评 考查建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线所成角，及平面法向量的方法，线面垂直的概念，向量夹角余弦的坐标公式，要弄清异面直线所成角和异面直线的方向向量夹角的关系，以及平面法向量的概念及求法．