Question

已知函数f(x)=x2-

1

2

x+

1

4

，f′（x）为函数f（x）的导函数．
（Ⅰ）若数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=f'（a_n）+f′（n）（n∈N^*），求数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足：b₁=b，b_n+1=2f（b_n）（n∈N^*）．
（ⅰ）当b=

1

2

时，数列{b_n}是否为等差数列？若是，请求出数列{b_n}的通项b_n；若不是，请说明理由；
（ⅱ）当

1

2

＜b＜1时，求证：

n

i=1

1

bi

＜

2

2b-1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导函数．代入条件找到数列{a_n}的递推公式，再对递推公式利用构造法找到一个等比数列的通项，就可求出数列{a_n}的通项a_n；
（Ⅱ）（ⅰ）先求出数列{b_n}的递推公式，再把b=

1

2

代入即可证明数列{b_n}是等差数列．
（ⅱ）先求出数列{b_n}的递推公式，转化为

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．再利用数学归纳法证得bn＞

1

2

，即可证得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f′(x)=2x-

1

2

，（1分）
∴an+1=(2an-

1

2

)+(2n-

1

2

)=2an+2n-1，
即a_n+1+2（n+1）+1=2（a_n+2n+1）．（3分）
∵a₁=1，∴数列{a_n+2n+1}是首项为4，公比为2的等比数列．
∴a_n+2n+1=4•2^n-1，即a_n=2ⁿ⁺¹-2n-1．（5分）
（Ⅱ）（ⅰ）∵b_n+1=2f（b_n）=2bn2-bn+

1

2

，
∴bn+1-bn=2(bn-

1

2

)2．∴当b1=

1

2

时，b2=

1

2

．
假设bk=

1

2

，则b_k+1=b_k．
由数学归纳法，得出数列{b_n}为常数数列，是等差数列，其通项为bn=

1

2

．（8分）
（ⅱ）∵bn+1=2bn2-bn+

1

2

，∴bn+1-bn=2(bn-

1

2

)2．
∴当

1

2

＜b1＜1时，b2＞b1＞

1

2

．
假设bk＞

1

2

，则bk+1＞bk＞

1

2

．
由数学归纳法，得出数列bn＞

1

2

（n=1，2，3，）．（10分）
又∵bn+1-

1

2

=2bn(bn-

1

2

)，
∴

1

bn+1- 1 2

=

1

bn- 1 2

-

1

bn

，
即

1

bn

=

1

bn- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．（12分）
∴

n

i=1

1

bi

=

n

i=1

(

1

bi- 1 2

-

1

bi+1- 1 2

)=

1

b1- 1 2

-

1

bn+1- 1 2

．
∵bn+1＞

1

2

，
∴

n

i=1

1

bi

＜

1

b1- 1 2

=

2

2b-1

．（14分）

点评：本题是对数列与函数的综合以及数学归纳法的综合考查．在数列与函数的综合题中，一般是利用函数的单调性来研究数列的单调性，或是利用函数的导函数来研究数列．