Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=

2

，AF=1，M是线段EF的中点．
（1）求证AM∥平面BDE；
（2）求二面角A-DF-B的大小；
（3）试在线段AC上一点P，使得PF与CD所成的角是60°．

Answer 1

分析：（I）以C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而求出直线AM的方向向量及平面BDE的法向量，易得这两个向量垂直，即AM∥平面BDE；
（2）求出平面ADF与平面BDF的法向量，利用向量夹角公式求出夹角，即可得到二面角A-DF-B的大小；
（3）点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°，我们设出点P的坐标，并由此求出直线PF与CD的方向向量，再根据PF与CD所成的角是60°构造方程组，解方程即可得到结论．

解答：证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系
设AC∩BD=N，连接NE，
则点N、E的坐标分别是（

2

2

，

2

2

，0)、（0，0，1），
∴

NE

=（-

2

2

，-

2

2

，1)，
又点A、M的坐标分别是
（

2

，

2

，0）、（

2

2

，

2

2

，1)
∴

AM

=（-

2

2

，-

2

2

，1)
∴

NE

=

AM

且NE与AM不共线，
∴NE∥AM
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDF
解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，
∴AB⊥平面ADF
∴

AB

=(-

2

，0，0)为平面DAF的法向量
∵

NE

•

DB

=(-

2

2

，-

2

2

，1)•(-

2

，

2

，0)=0，
∴

NE

•

NF

=(-

2

2

，-

2

2

，1)•(

2

，

2

，0)=0得

NE

⊥

DB

，

NE

⊥

NF

∴NE为平面BDF的法向量
∴cos＜

AB，

NE

＞=

1

2

∴

AB，

NE

的夹角是60°
即所求二面角A-DF-B的大小是60°
（3）设P（x，x），

PF

=(

2

-x，

2

-x，1)，

CD

=(

2

，0，0)，则
cos

π

3

=|

2 -( 2 -x)

2 - 2( 2 -x)2+1

|，解得x=

2

2

或x=

3 2

2

（舍去）
所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）

点评：本题考查的知识点是向量语言表述线线的垂直、平行关系，用空间向量求直线音质夹角、距离，用空间向量求平面间的夹角，其中建立空间坐标系，求出各顶点的坐标，进而求出相关直线的方向向量和平面的法向量是解答本题的关键．