Question

对于△ABC，有如下四个命题：
①若sin2A=sin2B，则△ABC为等腰三角形，
②若sinB=cosA，则△ABC是不一定直角三角形
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则△ABC是钝角三角形
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则△ABC是等边三角形．
其中正确的命题是

②④

．

Answer 1

分析：①根据三角函数的倍角公式进行判断．②根据三角形的图象和性质进行判断．③根据正弦定理去判断．④根据正弦定理和三角函数的公式进行判断．

解答：解：①在△ABC中，若sin2A=sin2B，则2A=2B或2A+2B=π，∴A=B或A+B=

π

2

，则△ABC为等腰或直角三角形，∴①错误．
②若sinB=cosA，则sinB=cosA=sin（

π

2

-A），∴B=

π

2

-A或B+

π

2

-A=π，即A+B=

π

2

或B-A=

π

2

，则△ABC不一定为直角三角形，∴②正确．
③若sin²A+sin²B＞sin²C，则根据正弦定理得a²+b²＞c²，∴C为锐角，但不能判断A或B为钝角，∴③错误．
④若

a

cos A 2

=

b

cos B 2

=

c

cos C 2

，则根据正弦定理得

sinA

cos A 2

=

sinB

cos B 2

=

sinC

cos C 2

，
即sin

A

2

=sin

B

2

=sin

C

2

，∴

A

2

=

B

2

=

C

2

，∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形．∴④正确．
故正确的是②④．
故答案为：②④．

点评：本题主要考查正弦定理和三角公式的应用，要求熟练掌握三角函数的运算公式，考查学生的运算能力．