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在△ABC中,a、b、c分别是内角A、B、C的对边,cos2B+3cos(A+C)+2=0.
(Ⅰ)求sinB的值;
(Ⅱ)若△ABC外接圆的面积为4π,且C=75°,求△ABC的面积.
分析:(Ⅰ)利用已知条件已经三角形的内角和,求出cosB,然后求sinB的值;
(Ⅱ)求出△ABC外接圆的半径,利用正弦定理以及三角形面积为4π,求出a,b结合C=75°,求△ABC的面积.
解答:解:(Ⅰ)∵cos2B+3cos(A+C)+2=0.
A+B+C=π,
∴cosB=
1
2
或cosB=1,B∈(0,π)
∴sinB=
1-cos2B
=
3
2

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知B=60°,设外接圆的半径为R,则πR2=4π,∴R=2,
b
sinB
=2R
,∴b=2
3
,A=π-B-C=45°,
a
sinA
=2R
得:a=2RsinA=2
2

且sin75°=sin(30°+45°)=
6
+
2
4

∴S=
1
2
absinC=3+
3
点评:本题是中档题,考查三角形的面积公式,外接圆的知识已经正弦定理的应用,考查计算能力,转化思想的应用.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c.满足2acosC+ccosA=b.则sinA+sinB的最大值是(  )
A、
2
2
B、1
C、
2
D、
1+
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a<b<c,B=60°,面积为10
3
cm2,周长为20cm,求此三角形的各边长.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,已知
.
m
=(cos
C
2
,sin
C
2
)
.
n
=(cos
C
2
,-sin
C
2
)
,且
m
n
=
1
2

(1)求角C;
(2)若a+b=
11
2
,△ABC的面积S=
3
3
2
,求边c的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

在△ABC中,A,B,C为三个内角,若cotA•cotB>1,则△ABC是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知y=f(x)函数的图象是由y=sinx的图象经过如下三步变换得到的:
①将y=sinx的图象整体向左平移
π
6
个单位;
②将①中的图象的纵坐标不变,横坐标缩短为原来的
1
2

③将②中的图象的横坐标不变,纵坐标伸长为原来的2倍.
(1)求f(x)的周期和对称轴;
(2)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,且f(C)=2,c=1,ab=2
3
,且a>b,求a,b的值.

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