Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1(﹣2，0)，A2(2，0)，右准线方程为x＝4．过点A1的直线交椭圆C于x轴上方的点P，交椭圆C的右准线于点D．直线A2D与椭圆C的另一交点为G，直线OG与直线A1D交于点H．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若HG⊥A1D，试求直线A1D的方程；

（3）如果，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）由题可得：，利用椭圆准线方程可得，即可求得，问题得解。

（2）设，即可表示直线的方程为：，联立直线与椭圆方程可求得，即可求得，由HG⊥A1D可列方程，整理得：，结合即可求得，从而求得，问题得解。

（3）设，，，，表示出直线的方程为：，直线的方程为：，将直线方程分别与椭圆方程联立，即可求得，，，联立直线的方程与直线的方程即可求得，即可表示出,，利用列方程可得：，即可表示出，结合即可求得，问题得解。

（1）由题可得：，又椭圆右准线方程为＝4，

所以，解得：，又，解得：

所以椭圆C的标准方程为：.

（2）设（）,则且

所以直线的方程为：

联立直线的方程与准线方程可得：，

整理得：，所以，

所以.

又HG⊥A1D，所以，即：

联立可得：.

所以.

所以直线的方程为：.

（3）设，，，，其中

直线的方程为：

联立椭圆方程可得：，解得

直线的方程为：

联立椭圆方程可得：，解得，

所以直线的方程为：

联立直线的方程与直线的方程可得：，

解得：

所以,

又，所以

所以

整理得：

因为，所以，整理得：