Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD丄底面ABCD,..

(1)求证：平面PAB丄平面PCD

(2)如果AB=BC=2,PB=PC=求四棱锥P-ABCD的体积.

 

Answer 1

(1) 见解析 (2)

【解析】

试题分析：(1)欲证平面平面,只需证其中的一个平面经过另一平面的一条垂线即可，考虑到题设中所给的矩形以及面面垂直关系，易证：,从而平面；

(2)作，垂足为，连结；可证≌是的中点,

从而求得四棱锥的高,进一步求得四棱锥的体积.

试题解析：（Ⅰ）因为四棱锥的底面是矩形，所以，

又侧面底面，所以．

又，即，而，所以平面．

因为PA?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD． 4分

（Ⅱ）如图，作PO⊥AD，垂足为O，则PO⊥平面ABCD．

连结OB，OC，则PO⊥OB，PO⊥OC．

因为PB＝PC，所以Rt△POB≌Rt△POC，所以OB＝OC．

依题意，ABCD是边长为2的正方形，由此知O是AD的中点． 7分

在Rt△OAB中，AB＝2，OA＝1，OB＝．

在Rt△OAB中，PB＝，OB＝，PO＝1． 10分

故四棱锥P-ABCD的体积V＝AB2·PO＝．

考点：1、平面与平面垂直的判定与性质；2、棱锥的体积.