Question

（2008•湖北模拟）如果椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上存在一点P，使点P到左准线的距离与它到右焦点的距离相等，那么椭圆的离心率的范围是（　　）

• A．(0，

  2

  -1]
• B．[

  2

  -1，1)
• C．(0，

  3

  -1]
• D．[

  3

  -1，1)

Answer 1

分析：设它到右焦点的距离是m，则到左准线距离m，它到左焦点的距离是2a-m，由椭圆第二定义可知

2a-m

m

=e=

c

a

，m=

2a2

a+c

，再到左准线距离m，

a2

c

-a≤m≤

a2

c

+a，进而求得

c

a

即e的范围．

解答：解：设它到右焦点的距离是m，则到左准线距离m，
它到左焦点的距离是2a-m，
由椭圆第二定义可知

2a-m

m

=e=

c

a

，m=

2a2

a+c

，
对于到左准线距离m，

a2

c

-a≤m≤

a2

c

+a
∴a²-c²≤2ac≤（a+c）²2ac≤（c+a）²恒成立
a²-c²≤2ac
∴c²+2ac-a²≤0   
两边同时除以a²得e²+2e-1≥0
解得e≥

2

-1，∵椭圆离心率小于1
∴

2

-1≤e＜1
故选B．

点评：本题主要考查了椭圆的基本性质、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．