Question

【题目】如图，关于正方体，有下列四个命题：

①与平面所成角为45°；

②三棱锥与三棱锥的体积比为；

③存在唯一平面.使平面且截此正方体所得截面为正六边形；

④过作平面，使得棱、，在平面上的正投影的长度相等.则这样的平面有且仅有一个.

上述四个命题中，正确命题的序号为________.

Answer 1

【答案】①②③.

【解析】

根据线面角的求解方法，三棱锥体积计算公式，正方体截面的性质，以及投影的相关知识，对选项进行逐一分析即可.

对①：过作垂直于，垂足为，如下图所示：

因为是正方体，

容易知平面，且平面，故可得，

又因为，故平面，故即为所求线面角.

容易知为等腰直角三角形，故.

即与平面所成角为45°.故①正确；

对②：设正方体棱长为1，

故可得；

而棱锥的体积可以理解为

正方体的体积减去4个体积都和相等的三棱锥的体积，

故.

故棱锥与三棱锥的体积比为，则②正确；

对③：根据正方体截面的性质，当截面为六边形时，

当且仅当为各点所在棱的中点时，截面为正六边形，如下图所示：

其它情况下，无法保证截面六边形的棱长都相等，

故存在唯一平面.使平面且截此正方体所得截面为正六边形，

则③正确；

对④：若棱在平面的同侧，则为过点且与平面平行的平面；

若棱中有一条棱与另外两条棱分别在平面的异侧，则这样的平面有3个；

故满足题意的平面有4个.

故④错误.

综上所述：正确的有①②③.

故答案为：①②③.