Question

【题目】已知a为常数，函数f（x）＝x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）．

（1）求a的取值范围；

（2）证明：．

Answer 1

【答案】（1）； （2）见解析.

【解析】

（1）对f（x）求导，对a≤0，a＞0两种情况分析函数的单调性，研究有两个极值点限制条件;

（2）根据（1）中单调性的分析，可得，又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，结合单调性，以及范围边界点的函数值，可得的范围，从而可得证.

（1）求导得f′（x）＝lnx+1﹣2ax（x＞0），

由题意可得函数g（x）＝lnx+1﹣2ax有且只有两个零点．

∵．

当a≤0时，g′（x）＞0，f′（x）单调递增，

因此g（x）＝f′（x）至多有一个零点，不符合题意，舍去；

当a＞0时，令g′（x）＝0，解得，

所以单调递增，

单调递减．

所以是g（x）的极大值点，

则，解得；

（2）g（x）＝0有两个根x1，x2，且，

又g（1）＝1﹣2a＞0，所以，

从而可知f（x）在区间（0，x1）上递减，在区间（x1，x2）上递增，在区间（x2，+∞）上递减．

所以，

所以．